群・環・体の整理

まえがき

代表的な代数的構造である，群・環・体の性質を整理する．

比較

演算群環体
加法✕加群加群
乗法の結合律◯◯◯
乗法の単位元の存在◯◯◯
乗法の逆元の存在◯✕◯
分配律✕◯◯

自然数( N\mathbb{N} ) はいずれでもなく， 整数( Z\mathbb{Z} ) は環， 有理数( Q\mathbb{Q} )，実数( R\mathbb{R} ) は体である．

定義

それぞれの定義は下記のとおり．

群

定義(群)

集合 GG の任意の 2 元 a,ba, b に対して a,ba, b の積とよばれる GG の元がただ一つ定まり( abab と表す) 以下の条件(群の公理)を満たすとき，GG は群であるという．

(1) (結合律) 任意の a,b,c∈Ga, b, c \in G に対して下記が成り立つ．

a(bc)=(ab)c.a (b c) = (a b) c.

(2) (単位元) 任意の元 a∈Ga \in G に対して ae=ea=aa e = e a = a となる元 e∈Ge \in G が存在する． ee を単位元という．

(3) (逆元) 任意の元 a∈Ga \in G に対して ab=ba=ea b = b a = e となる b∈Gb \in G が存在する． bb を aa の逆元といい，a−1a^{-1} と表す．

環

定義(環)

集合 RR について，加法 ++ と乗法 ⋅\cdot が定義され， 以下の条件(環の公理)を満たすとき，R(+,⋅)R(+, \\ \cdot) は環であるという．

(1) 加法 ++ は以下の性質を持つ．(加群)

(1 - 1) 任意の a,b∈Ra, b \in R に対して下記が成り立つ．

a+b=b+a.a + b = b + a.

(1 - 2) (結合律) 任意の a,b,c∈Ra, b, c \in R に対して下記が成り立つ．

a+(b+c)=(a+b)+c.a + (b + c)= (a + b) + c.

(1 - 3) (零元) 任意の a∈Ra \in R に対して a+0=aa + 0 = a となる 0∈R0 \in R が存在する．

(1 - 4) (逆元) 任意の a∈Ra \in R に対して a+b=0a + b = 0 となる b∈Rb \in R が存在する．

(2) 乗法 ⋅\cdot は以下の性質を持つ．

(2 - 1) (結合律) 任意の a,b,c∈Ra, b, c \in R に対して下記が成り立つ．

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c.a \cdot (b \cdot c)= (a \cdot b) \cdot c.

(2 - 2) (単位元) 任意の元 a∈Ra \in R に対して a⋅1=1⋅a=aa \cdot 1 = 1 \cdot a = a となる元 1∈R1 \in R が存在する．

(3) (分配律) 任意の元 a,b,c∈Ra, b, c \in R に対して下記が成り立つ．

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c ,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a .\begin{aligned} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \ , \\ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a \ . \end{aligned}

体

定義(体)

集合 KK について，加法 ++ と乗法 ⋅\cdot が定義され， 以下の条件(体の公理)を満たすとき，K(+,⋅)K(+, \\ \cdot) は体であるという．

(1) 加法 ++ は以下の性質を持つ．(加群)

(1 - 1) 任意の a,b∈Ka, b \in K に対して下記が成り立つ．

a+b=b+a.a + b = b + a.

(1 - 2) (結合律) 任意の a,b,c∈Ka, b, c \in K に対して下記が成り立つ．

a+(b+c)=(a+b)+c.a + (b + c)= (a + b) + c.

(1 - 3) (零元) 任意の a∈Ka \in K に対して a+0=aa + 0 = a となる 0∈K0 \in K が存在する．

(1 - 4) (逆元) 任意の a∈Ka \in K に対して a+b=0a + b = 0 となる b∈Kb \in K が存在する．

(2) 乗法 ⋅\cdot は以下の性質を持つ．

(2 - 1) (結合律) 任意の a,b,c∈Ka, b, c \in K に対して下記が成り立つ．

a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c.a \cdot (b \cdot c)= (a \cdot b) \cdot c.

(2 - 2) (単位元) 任意の元 a∈Ka \in K に対して a⋅1=1⋅a=aa \cdot 1 = 1 \cdot a = a となる 00 とは異なる元 1∈K1 \in K が存在する．

(2 - 3) (逆元) 零元でない任意の元 a∈Ka \in K に対して a⋅b=b⋅a=1a \cdot b = b \cdot a = 1 となる b∈Kb \in K が存在する．

(3) (分配律) 任意の元 a,b,c∈Ka, b, c \in K に対して下記が成り立つ．

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a.\begin{aligned} a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \\ (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a. \end{aligned}

あとがき

先日 負の数と負の数の積が正の数になることについて環の公理から考えてみたという記事を書いた． その中で，実数が体であることから体の公理を持ち出したが， 説明するにあたって，乗法の逆元の存在は不要で，環の公理だけで十分だった． そういった反省があり，ここで整理した．

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